Hoe logaritmische vergelijkingen op te lossen

Inhoud

• stadia
• Voorlopig: weet hoe je een logaritmische vergelijking omzet in een vergelijking met machten
• Methode 1 Zoeken X
• Methode 2 Zoeken X met behulp van de logaritme productregel
• Methode 3 Zoeken X met behulp van de logaritme quotiëntregel

Logaritmische vergelijkingen zijn op het eerste gezicht niet het gemakkelijkst op te lossen in de wiskunde, maar ze kunnen worden omgezet in vergelijkingen met exponenten (exponentiële notatie). Dus, als je erin slaagt om deze transformatie te maken en als je de berekening met de bevoegdheden beheerst, moet je dit soort vergelijkingen gemakkelijk oplossen. NB: de term "log" zal van tijd tot tijd worden gebruikt in plaats van "logaritme", ze zijn uitwisselbaar.

stadia

Voorlopig: weet hoe je een logaritmische vergelijking omzet in een vergelijking met machten

1. 
   

   
   Laten we beginnen met de definitie van logaritme. Als u logaritmen wilt berekenen, weet dan dat ze niets anders zijn dan een speciale manier om krachten uit te drukken. Laten we beginnen met een van de klassieke voorwaarden van logaritme:
   • y = log_b (X)
     • als en alleen als: b = x
   • b is de basis van het logaritme. Aan twee voorwaarden moet worden voldaan:
     • b> 0 (b moet strikt positief zijn)
     • b mag niet gelijk zijn aan 1
   • In exponentiële notatie (tweede vergelijking hierboven), er is de kracht en X is de zogenaamde exponentiële uitdrukking, in feite de waarde waarvan men naar het logboek zoekt.

2. 
   

   
   
   
   Let goed op de vergelijking. Tegenover een logaritmische vergelijking moeten we de basis (b), de macht (y) en de exponentiële uitdrukking (x) identificeren.
   • voorbeeld : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Plaats de exponentiële uitdrukking aan één kant van de vergelijking. Plaats bijvoorbeeld uw waarde X links van het teken "=".
   • voorbeeld : 1024 = ?

4. 
   

   
   Breng de basis omhoog naar de aangegeven kracht. De waarde toegewezen aan de database (b) moet zo vaak worden vermenigvuldigd als de macht aangeeft (er).
   • voorbeeld : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Kort gezegd geeft dit: 4

5. 
   

   
   
   
   Schrijf je antwoord. U kunt nu de logaritme herschrijven in exponentiële notatie. Zorg ervoor dat uw gelijkheid correct is door de berekening opnieuw uit te voeren.
   • voorbeeld : 4 = 1024

Methode 1 Zoeken X

1. 
   

   
   Isoleer de logaritme. Het doel is inderdaad om het logboek voor de eerste keer te ontbinden. Hiervoor passeren we alle niet-logaritmische leden aan de andere kant van de vergelijking. Vergeet niet om de operatietekens om te keren!
   • voorbeeld : log₃(X + 5) + 6 = 10
     • log₃(X + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(X + 5) = 4

2. 
   

   
   Schrijf de vergelijking in exponentiële vorm. Om "x" te kunnen vinden, moet je van logaritmische notatie naar exponentiële notatie gaan, de laatste is gemakkelijker op te lossen.
   • voorbeeld : log₃(X + 5) = 4
     • Uitgaande van de theoretische vergelijking y = log_b (X)], pas het toe op ons voorbeeld: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Schrijf de vergelijking als: b = x
     • We verkrijgen hier: 3 = x + 5

3. 
   

   
   vinden X. U wordt nu geconfronteerd met een vergelijking van de eerste graad, die gemakkelijk is op te lossen. Het kan een tweede of derde graad zijn.
   • voorbeeld : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Voer uw definitieve antwoord in. De waarde die u hebt gevonden voor "x" is het antwoord op uw logaritmische vergelijking: log₃(X + 5) = 4.
   • voorbeeld : x = 76

Methode 2 Zoeken X met behulp van de logaritme productregel

1. 
   

   
   U moet de regel kennen met betrekking tot het product (vermenigvuldiging) van de logboeken. Volgens de eerste eigenschap van de logs, die betrekking heeft op het product van de logs (van dezelfde base sentend!), Is de log van een product gelijk aan de som van de logs van de elementen van het product. illustratie:
   • log_b(m x n) = logboek_b(m) + logboek_b(N)
   • Aan twee voorwaarden moet worden voldaan:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isoleer de logboeken aan één kant van de vergelijking. Het doel is inderdaad om eerst de logboeken te laten verdwijnen. Hiervoor passeren we alle niet-logaritmische leden aan de andere kant van de vergelijking. Vergeet niet om de operatietekens om te keren!
   • voorbeeld : log₄(x + 6) = 2 - logboek₄(X)
     • log₄(x + 6) + logboek₄(x) = 2 - logboek₄(x) + logboek₄(X)
     • log₄(x + 6) + logboek₄(x) = 2

3. 
   

   
   Pas de regel betreffende het product van de logboeken toe. Hier zullen we het in de tegenovergestelde richting toepassen, namelijk dat de som van de logs gelijk is aan de log van het product. Wat geeft ons:
   • voorbeeld : log₄(x + 6) + logboek₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Herschrijf de vergelijking met bevoegdheden. Bedenk dat een logaritmische vergelijking kan worden omgezet in een vergelijking met exponenten. Zoals eerder zullen we overgaan op exponentiële notatie om het probleem te helpen oplossen.
   • voorbeeld : log₄(x + 6x) = 2
     • Laten we, uitgaande van de theoretische vergelijking, dit toepassen op ons voorbeeld: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Schrijf de vergelijking als: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   vinden X. U wordt nu geconfronteerd met een tweedegraadsvergelijking, die gemakkelijk is op te lossen.
   • voorbeeld : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Schrijf je antwoord. Vaak hebben we twee antwoorden (wortels). In de startvergelijking moet worden gecontroleerd of deze twee waarden geschikt zijn. We kunnen inderdaad niet de log van een negatief getal berekenen! Voer het enige geldige antwoord in.
   • voorbeeld : x = 2
   • We zullen het nooit genoeg onthouden: het logboek van een negatief getal bestaat niet, dus u kunt hier ontslaan - 8 als een oplossing. Als we -8 als antwoord zouden nemen, zouden we in de basisvergelijking hebben: log₄(-8 + 6) = 2 - logboek₄(-8), dwz logboek₄(-2) = 2 - logboek₄(-8). Kan het logboek van een negatieve waarde niet berekenen!

Methode 3 Zoeken X met behulp van de logaritme quotiëntregel

1. 
   

   
   U moet de regel kennen die betrekking heeft op de verdeling van logboeken. Volgens de tweede eigenschap van de logs, die betrekking heeft op de verdeling van de logs (van dezelfde base sentend!), Is de log van een quotiënt gelijk aan het verschil tussen de log van de teller en de log van de noemer. illustratie:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - logboek_b(N)
   • Aan twee voorwaarden moet worden voldaan:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isoleer de logboeken aan één kant van de vergelijking. Het doel is inderdaad om eerst de logboeken te laten verdwijnen. Hiervoor passeren we alle niet-logaritmische leden aan de andere kant van de vergelijking. Vergeet niet om de operatietekens om te keren!
   • voorbeeld : log₃(x + 6) = 2 + logboek₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - logboek₃(x - 2) = 2 + logboek₃(x - 2) - logboek₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - logboek₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Pas de log quotient-regel toe. Hier zullen we het in de tegenovergestelde richting toepassen, namelijk dat het verschil van de logs gelijk is aan het log van het quotiënt. Wat geeft ons:
   • voorbeeld : log₃(x + 6) - logboek₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Herschrijf de vergelijking met bevoegdheden. Bedenk dat een logaritmische vergelijking kan worden omgezet in een vergelijking met exponenten. Zoals eerder zullen we overgaan op exponentiële notatie om het probleem te helpen oplossen.
   • voorbeeld : log₃ = 2
     • Laten we, uitgaande van de theoretische vergelijking, dit toepassen op ons voorbeeld: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Schrijf de vergelijking als: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   vinden X. Nu er geen logs meer zijn, maar bevoegdheden, moet u het gemakkelijk vinden X.
   • voorbeeld : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; we vermenigvuldigen beide zijden met (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Voer uw definitieve antwoord in. Neem uw berekeningen terug en voer een controle uit. Als u zeker bent van uw antwoord, schrijf dit dan definitief op.
   • voorbeeld : x = 3